Problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales

Anuncios patrocinados


Publicado en: Matemática

| 24 enero, 2013 | Sé el primero en comentar


Cuando se resuelven ecuaciones diferenciales en general se busca una solución particular que satisfaga ciertas condiciones iniciales. Este hecho da origen a los problemas de valor inicial o de frontera. Será un problema de frontera si la condición se da en dos o más valores de x, y será un problema de valor inicial, si se da como condiciones inicial el valor de y para un valor de x. En esta oportunidad nos abocaremos a los problemas de valor inicial.

Un problema de valor inicial representa una ecuación diferencial de primer orden sujeta a una condición inicial, como se muestra a continuación:

La solución que tendrá este tipo de problema podrá ser singular o particular, pero no general. Mediante el teorema de existencia y unicidad de las soluciones de un problema de valor inicial, se puede determinar si la ecuación diferencial tiene una solución, y si ésta a su vez, es única.

Supóngase que las funciones f(x,y) y ∂f/∂y son funciones continuas en un rectángulo R del plano xy y (x0,y0) es un punto dentro de R. Entonces el problema de valor inicial tendrá una solución y(x) en un intervalo I de x que contiene a x0 (asegura la existencia de la solución); pero no más de una solución en R en cualquier intervalo de x que contenga a x0 (asegura la unicidad de la solución). Si pruebo que f(x,y) es continua en R, aseguro la existencia de la solución. Si pruebo que ∂f/∂y es continua en R, aseguro la existencia de una solución única. Debo definir un rectángulo que contenga a (x0,y0) en el cual se cumplan las condiciones de continuidad. Si no puedo aplicar el teorema, no podré determinar el tipo de solución. Para los casos en que se cumpla el teorema, no podrán juntarse en R dos curvas, ya que se tendría distintas soluciones.

Veamos la aplicación del teorema con un ejemplo: Dada la ecuación diferencial y´=x*(y1/2) con la condición inicial y(0)= 1.

  • f(x,y)= x*(y1/2)       Es continua es (0,1) por lo que se garantiza la existencia de una solución (veáse gráficamente)
  • ∂f/∂y= x/(2*(y1/2))     Es continua es (0,1) por lo que garantiza la existencia de una solución única.

Entonces puede definirse un rectángulo que contenga a (0,1), donde tanto la función como la derivada son continuas en el entorno del punto. Garantizando de esta manera, la existencia y unicidad de la solución.



Etiquetas: , , , , , , despeje de la formula de velocidad de reaccion, despeje de velocidad inicial en funcion al tiempo